与足球有关的数学题
与足球有关的数学题
世界杯预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组,进行主客场比赛.按照规定每场比赛胜者得三分,平局各得一分,败者不得分.比赛结束后前两名可以晋级.
（1）由于4支队伍均为强队,每支队伍至少得3分.于是:
甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；
乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线.
问：甲、乙专家哪个说得对?为什么?
（2）若不考虑（1）中条件,中国队至少得多少分才能确保出线?
结论：（1）乙专家说得对；（2）中国队要至少得13分才能确保晋级.
请问主客场比赛如何进行?此题怎么解?
首先……题目出错了……“由于4支队伍均为强队”…………多明显的错误……
好复杂啊……这么难的题…… 我原以为是排列组合的……结果应该是博弈论…………有专业学商科的来就好了……
把题目简化为ABCD四元素,双循环赛,胜者得三分,平局各得一分,败者不得分.问A为头两名所需要的积分.
可以用穷举法……这是数学思想最简单的方法.但是,每场比赛都有3种可能结果,一共3^6＝729种组合……人工穷举并不现实……
那么……设积分为s
A的6场比赛的总积分S＝s1＋……s6
Smax＝18
总积分的结果,有28种
B1 C1 D1 B2 C2 D2 Sum
3 3 3 3 3 3 18
3 3 3 3 3 1 16
3 3 3 3 3 0 15
3 3 3 3 1 1 14
3 3 3 3 1 0 13
3 3 3 3 0 0 12
3 3 3 1 1 1 12
3 3 3 1 1 0 11
3 3 3 1 0 0 10
3 3 3 0 0 0 9
3 3 1 1 1 1 10
3 3 1 1 1 0 9
3 3 1 1 0 0 8
3 3 1 0 0 0 7
3 3 0 0 0 0 6
3 1 1 1 1 1 8
3 1 1 1 1 0 7
3 1 1 1 0 0 6
3 1 1 0 0 0 5
3 1 0 0 0 0 4
3 0 0 0 0 0 3
1 1 1 1 1 1 6
1 1 1 1 1 0 5
1 1 1 1 0 0 4
1 1 1 0 0 0 3
1 1 0 0 0 0 2
1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
取积分18～9的排列,看可能的比赛结果：
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 0
B 3 -B 3 -
C 3- C 3-
D 3 -D 3 -
A - 0 0 0A - 0 0 1
B 3 -B 3 -
C 3- C 3-
D 3 -D 1 -
18 0 0 0 16 0 0 1
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 0
B 3 -B 3 -
C 3- C 3-
D 3 -D 3 -
A - 0 0 3A - 0 1 1
B 3 -B 3 -
C 3- C 1-
D 0 -D 1 -
15 0 0 3 14 0 1 1
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 0
B 3 -B 3 -
C 3- C 3-
D 3 -D 3 -
A - 0 1 3A - 0 3 3
B 3 -B 3 -
C 1- C 0-
D 0 -D 0 -
13 0 1 3 12 0 3 3
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 0
B 3 -B 3 -
C 3- C 3-
D 3 -D 3 -
A - 1 1 1A - 1 1 3
B 1 -B 1 -
C 1- C 1-
D 1 -D 0 -
12 1 1 1 11 1 1 3
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 1
B 3 -B 3 -
C 3- C 3-
D 3 -D 1 -
A - 1 3 3A - 1 1 1
B 1 -B 1 -
C 0- C 1-
D 0 -D 1 -
10 1 3 3 10 1 1 2
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 1
B 3 -B 3 -
C 3- C 3-
D 3 -D 1 -
A - 3 3 3A - 1 1 3
B 0 -B 1 -
C 0- C 1-
D 0 -D 0 -
9 3 3 3 9 1 1 4
考虑其他球队尽可能地积分最大的情况
为了另一个球队积分最大化,设D除了对A以外,其余全胜.
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 0
B 3 -3B 3 -3
C 3- 3C 3- 3
D 30 -D 30 -
A - 0 0 0A - 0 0 1
B 3 -3B 3 -3
C 3- 3C 3- 3
D 30 -D 10 -
18 0 0 12 16 0 0 13
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 0
B 3 -3B 3 -3
C 3- 3C 3- 3
D 30 -D 30 -
A - 0 0 3A - 0 1 1
B 3 -3B 3 -3
C 3- 3C 1- 3
D 00 -D 10 -
15 0 0 15 14 0 1 13
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 0
B 3 -3B 3 -3
C 3- 3C 3- 3
D 30 -D 30 -
A - 0 1 3A - 0 3 3
B 3 -3B 3 -3
C 1- 3C 0- 3
D 00 -D 00 -
13 0 1 15 12 0 3 15
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 0
B 3 -3B 3 -3
C 3- 3C 3- 3
D 30 -D 30 -
A - 1 1 1A - 1 1 3
B 1 -3B 1 -3
C 1- 3C 1- 3
D 10 -D 00 -
12 1 1 13 11 1 1 15
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 1
B 3 -3B 3 -3
C 3- 3C 3- 3
D 30 -D 10 -
A - 1 3 3A - 1 1 1
B 1 -3B 1 -3
C 0- 3C 1- 3
D 00 -D 10 -
10 1 3 15 10 1 1 14
A B C D A B C D
A - 0 0 0A - 0 0 1
B 3 -3B 3 -3
C 3- 3C 3- 3
D 30 -D 10 -
A - 3 3 3A - 1 1 3
B 0 -3B 1 -3
C 0- 3C 1- 3
D 00 -D 00 -
9 3 3 15 9 1 1 16
由此,
B1 C1 D1 B2 C2 D2 Sum
3 3 3 3 3 3 18
3 3 3 3 3 1 16
3 3 3 3 3 0 15
3 3 3 3 1 1 14
这4组为A绝对首名出线的情况.因为在这4种情况下,剩余的球队即使把优势全部集中到一个球队（即使其除了对A以外全胜）也不能赢A
然后讨论
3 3 3 3 1 0
这一组
即：
A B C D
A - 0 0 0
B 3 -
C 3-
D 30 -
A - 0 1 3
B 3 -
C 1-
D 00 -
13 0 1 3
此时,D的可能为：
Dsum
0 3 3 3 3 3 15
0 3 3 3 3 1 13
0 3 3 3 3 0 12
0 3 3 3 1 1 11
0 3 3 3 1 0 10
0 3 3 3 0 0 9
0 3 1 3 1 1 9
0 3 1 3 1 0 8
0 3 1 3 0 0 7
0 3 0 3 0 0 6
0 1 1 3 1 1 7
0 1 1 3 1 0 6
0 1 1 3 0 0 5
0 1 0 3 0 0 4
0 0 0 3 0 0 3
在D积分最多的情况（0 3 3 3 3 3）下,C的可能为
sum
0 3 0 1 3 0 7
0 3 0 1 1 0 5
0 3 0 1 0 0 4
0 1 0 1 1 0 3
0 1 0 1 0 0 2
0 0 0 1 0 0 1
D积分第二多,同时＝A的积分（0 3 3 3 3 1）的情况下,C的可能为
D13sum
0 3 0 1 3 1 8
0 3 0 1 1 1 6
0 3 0 1 0 1 5
0 1 0 1 1 1 4
0 1 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 1 2
都不能超过A作为第二名时候的积分.当D的积分