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已知函数f(x)＝32sin2x−cos2x−12，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝0，若b=2a，求a，b的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:34:36
问题描述：

已知函数f(x)＝

 3
2
sin2x−cos2x−
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c＝
 3
，f(C)＝0，若b=2a，求a，b的值．

答

（Ⅰ）f(x)＝

 3
2
sin2x−
1+cos2x
2
−
1
2
＝sin(2x−
π
6
)−1
则f（x）的最小值是-2，最小正周期是T＝
2π
2
＝π；（7分）
（Ⅱ）f(C)＝sin(2C−
π
6
)−1＝0，则sin(2C−
π
6
)＝1，
∵0＜C＜π∴−
π
6
＜2C−
π
6
＜
11π
6
∴2C−
π
6
＝
π
2
，C＝
π
3
，
由余弦定理，得c2＝a2+b2−2abcos
π
3
，即3=a2+b2-ab，
又∵b=2a解得a=1，b=2．（14分）
答案解析：（Ⅰ）利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简，再根据函数的性质求最小值与用求周期的公式求周期．
（Ⅱ）利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简求角，再利用余弦定理建立方程与b=2a联立求出a，b的值．
考试点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值；解三角形．
知识点：本题考查余弦定理，解本题的关键是利用余弦定理建立关于参数的方程，本题中涉及到了三角恒等变换，求三角函数的最小值，周期，知识性较强，解题时要注意准确利用知识变形求值．

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