如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CN⊥DM交AB于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系,并说明理由.

问题描述:

如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CN⊥DM交AB于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系,并说明理由.

∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=BC,∠DCM=∠NBC=90°,
又∵CN⊥DM,
∴∠NCM+∠CMD=90°,
而∠CMD+∠CDM=90°,
∴∠NCM=∠CDM,
在△DCM和△CBN中,

∠NCM=∠CDM
CD=CB
∠DCM=∠CBN

∴△DCM≌△CBN(ASA),
∴CM=BN,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OCM=∠OBN=45°,CO=BO,
在△OCM和△OBN中,
CM=BN
∠OCM=∠OBN
CO=OB

∴△OCM≌△OBN(SAS).
∴OM=ON,∠COM=∠BON,而∠COM+∠MOB=90°,
∴∠BON+∠MOB=90°.
∴∠MON=90°,即OM⊥ON.
∴OM与ON之间的关系是OM=ON且OM⊥ON.