设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象经过点(−2，0)，(2/3，0)，如图所示， （1）求f（x）的解析式； （2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，求实数m的取值范围．
问题描述：
设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象经过点(−2，0)，(
，0)，如图所示，2 3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，求实数m的取值范围．
答
（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(
，0)，2 3
∴
⇒
−2+
＝−2 3
2b 3a −2×
＝2 3
c 3a
b＝2a c＝−4a
∴f（x）=ax3+2ax2-4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在(−2，
)上单调递增，在(2 3
，+∞)上单调递减，2 3
由f（x）极小值=f（-2）=a（-2）3+2a（-2）2-4a（-2）=-8，解得a=-1
∴f（x）=-x3-2x2+4x
（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，
只需f（x）min≥m2-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，-2）上单调递减，在(−2，
)上单调递增，在(2 3
，3]上单调递减2 3
且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33＜-8
∴f（x）min=f（3）=-33（11分）-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．