如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点． （1）求证：AF∥平面BCE； （2）求证：平面BCE⊥平面CDE； （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．
问题描述：
如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．
答
（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=
DE．1 2
又AB∥DE，且AB=
DE．∴AB∥FP，且AB=FP，1 2
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）
又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE． …（4分）
（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，
∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE． …（6分）
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE． …（8分）
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），
建立空间直角坐标系F-xyz．设AC=2，
则C（0，-1，0），B(-
，0，1)，E(0，1，2)．…（9分）
3
设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，
则
令z=1，则n=（0，-1，1）．…（10分）
n•
=0，n•CB
=0，CE
-
x+y+z=0
3
2y+2z=0
显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．
设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则cosα=
=|m•n| |m|•|n|
=1
2
．
2
2
α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）