已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB，（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC、AB，设M是AB的中点．（I）求证：BC⊥平面AEC；（Ⅱ）求二面角C-AB-E的正切值；（Ⅲ）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．

答

（1）在图1中，过C作CF⊥EB，垂足为F，连结CE∵DE⊥EB，CD∥AB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD=1，∴EF=1．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=12（AB-CD）=1．∵∠BAD=45°，∴Rt△ADE中，DE=AE=1，可得四边形CDEF...
答案解析：（1）在图1中，过C作CF⊥EB，垂足为F，连结CE．结合题意证出四边形CDEF为边长等于1的正方形，可得CE=CB=

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，△BCE中利用勾股定理的逆定理证出BC⊥CE，在图2中由AE⊥平面BCDE得AE⊥BC，根据线面垂直判定定理，即可证出BC⊥平面AEC．    
（2）过点F作FH⊥AB于H，连结CH，由（1）的结论证出平面ABE⊥平面BCDE，从而得到CF⊥平面ABE，可得CH⊥AB，得∠FHC就是二面角C-AB-E的平面角．Rt△FHC中算出FH的长，算出tan∠FHC=

CF

FH

=

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，即可得到二面角C-AB-E的正切值；
（3）假设EM∥平面ACD，根据线面平行的判定定理证出EB∥平面ACD，结合EM、EB是相交直线证出平面AEB∥平面ACD，这与题设平面AEB与平面ACD是相交的平面矛盾．因此假设不成立，即可得到EM与平面ACD不平行．
考试点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
知识点：本题给出平面图形的折叠，求证线面垂直并求二面角的大小．着重考查了空间垂直、平行位置关系的判断与证明和二面角的定义与求法等知识，属于中档题．