如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边作等腰三角形△ABC，AD=CD=10，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE． （1）求证：AE=CE=BE； （2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一
问题描述：
如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边作等腰三角形△ABC，AD=CD=10，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE．
（1）求证：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．则当DP为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时△PBC的周长．
答
（1）证明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴点F是AC的中点（等腰三角形的三线合一的性质），
∴EF是△ABC的中位线，即可得点E是斜边AB的中点，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=
=
AB2−BC2
=12，
152−92
∵AD=CD=10cm，DE⊥AC，
∴F是AC的中点，
∴EF=
BC=1 2
×9=4.5，AF=1 2
AC=1 2
×12=6，1 2
∴DF=
=
AD2−AF2
=8，
102−62
∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm，
根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC=
AB=1 2
，即DP=DE=12.5cm时，△PBC的周长最小，15 2
∴△PBC的最小周长=PB+PC+BC=15+9=24cm．