已知函数f(x)=2cos(X)sin(X+π/3）-（根号3）（SINX）平方+sinXcosX

f(x)=2cosx·sin(x+π/3）-√3sin²x+sinx·cosx
=2cosx·（sinx·cosπ/3+sinπ/3·cosx）-√3sin²x+sinx·cosx
=cosx·sinx+√3cos²x-√3sin²+sinx·cosx
=√3（cos²x-sin²x）+2·sinx·cosx
=√3cos2x-sin2x
=2sin（2x+π/3）
①最小正周期T=2π/2=π
②f（x）取得最大值时,2x+π/3=π/2+2kπ（k∈Z）
解得：x=kπ+（π/12）（k∈Z）
f（x）取得最小值时,2x+π/3=（3π/2）+2kπ（k∈Z）
解得：x=kπ+（7π/12）（k∈Z）
③由②可知,当k=0时,[π/12,7π/12]恰好是从最大值到最小值的半个周期
满足f(x)=1有且仅有一个这样的x,所以令2sin（2x+π/3）=1,解得:x=π/4
③如果不能理解,可以画一个f(x)==2sin（2x+π/3）在【π/12,7π/12】上的简图,结合图像就能求出来了!
∵4sinAsinB=3 , 4cosAcosB=1
∴sinAsinB=3/4, cosAcosB=1/4
又∵cos2x=1-2sin²x
∴1-cos2x=2sin²x
（1-cos4A)(1-cos4B)=2sin²2A·2sin²2B
=4(sin2A·sin2B）²
=4（2sinAcosA·2sinBcosB）²
=9/4
∵sinX+sinY=1/3
∴sinX=1/3-sinY
u=1/3-sinY-sin²Y
设sinY=t（-1≤t≤1）
则u=-t²-t+（1/3）（-1≤t≤1）
=-（t+1/2）²+（1/12）（-1≤t≤1）
画图,由图像可知：
u的最大值在t= -1/2处取得,Umax=1/12
u的最小值在t= 1处取得,Umin= -13/6