设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）=x．
问题描述：
设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）=x．
答
证明：令g（x）=f（x）-x x∈（0，1）
因为：0＜f（x）＜1
所以：g（0）=f（0）-0=f（0）＞0
g（1）=f（1）-1＜0
所以：g（0）g（1）＜0，
因为函数f（x）可微分，故f（x）连续，因此g（x）肯定连续
根据零点定理，可知，在x∈（0，1）上，至少有一个点满足：
g（ɛ）=0，ɛ∈（0，1）
即：f（ɛ）-ɛ=0，
f（ɛ）=ɛ．
假设存在两个或两个以上的点满足f（x）=x
设x1，x2为其中的两个点，x1≠x2．则有：
f（x1）=x1，f（x2）=x2，
既有：g（x1）=0；
g（x2）=0；
根据拉格朗日定理有：
g（x2）-g（x1）=g'（ξ）（x2-x1）=0 ξ∈（0，1）
因为：x1≠x2
所以必有：
g'（ξ）=0
因为g'（x）=f'（x）-1
即有：g'（ξ）=f'（ξ）-1=0
因此：f'（ξ）=1
与题设矛盾，故不存在两个或者两个以上的点满足f（x）=x．
综上所述：f（x）在x∈（0，1）有且仅有一个x满足f（x）=x．