如图,AB是圆O的直径,AC是弦,过弧AC中点P作弦PQ垂直AB,求证：PQ=AC
问题描述：
如图,AB是圆O的直径,AC是弦,过弧AC中点P作弦PQ垂直AB,求证：PQ=AC
答
连接CO,PO,PO交AC于D,
OA=OC,∠OAD=∠OCD,
P为弧AC的中点,弧AP=弧PC,∠AOP=∠COP,[等弧所对圆周角相等]
故OP为等腰三角形AOC的顶角∠AOC的角平分线,
所以OP为等腰三角形AOC的底边AC上的高,OP垂直于AC,
OP为等腰三角形AOC底边AC上的中线,AD=CD=AC/2,[等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合]
OA=OP,
∠ADO=∠PQO=90°,
∠AOD=∠QOP,
∠OAD=90°-∠ADO,
∠OPQ=90°-∠QOP,
所以∠OAD=∠OPQ,
故RT△ADO≌RT△PQO,[ASA]
因此AD=PQ,
故PQ=AD=AC/2.