问两道高数关于连续的证明题
问两道高数关于连续的证明题
问两道证明题:
1.证明f(x)=(x+4)的1/3次方 在其定义域连续
2.证明:若函数f(x)是奇函数或偶函数,且f(x)在a(≠0)连续,则函数f(x)也在-a连续.
1.证明f(x)=(x+4)的1/3次方 在其定义域连续.
证明:其定义域为R,分x0= - 4及x0≠ - 4两种情况证明:
①x0= - 4,应该证明lim -4>(x+4)^1/3=0:
对于任给的ε>0,存在δ=ε^3,当| x+4 | 利用 a^3 -b^3=(a -b)(a^2 + ab+b^2),取a=(x+4)^1/3,b=(x0+4)^1/3,则有
|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3|=|x -x0| / | (x+4)^2/3+(x+4)^1/3*(x0+4)^1/3+(x0+4)^2/3| (★),
看(★)中的分母,
相当于 | s^2+st+t^2|,可以证明:s^2+st+t^2 >0,并且| s^2+st+t^2|>t^2/2(证明此附后)
故有|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3| ≤ |x -x0| /(x0+4)^2/2(★★),
对于任给的ε>0,存在δ=[(x0+4)^2/2]*ε,当| x -x0 | 有|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3| ≤ |x -x0| /(x0+4)^2/2 f(x)=f(-a):令t= -x:
对于任给的ε>0,存在δ=ε,当| x -(-a) | =| x +a | =| -t +a |=| t -a |有|f(x) -f(-a)|= |f( -t) +f(a)| = | -f( t) +f(a)|= | f( t) -f(a)| f(x)=f(-a):令t= -x:
对于任给的ε>0,存在δ=ε,当| x -(-a) | =| x +a | =| -t +a |=| t -a |有|f(x) -f(-a)|= |f( -t) - f(a)| = | f( t) - f(a)| 0,并且| s^2+st+t^2|>t^2/2:
①若st>0,则s^2+st+t^2 >0,则 |s^2+st+t^2|= s^2+st+t^2>t^2> t^2/2.
②若st0,
于是有|s^2+st+t^2|=s^2+st+t^2≥(s^2+t^2 ) /2 > t^2/2.证毕.