已知tanα,tanβ是一元二次方程2mx2+(4m-2)x+2m-3=0的两个不等实根,求函数f(m)=5m2+3mtan(α+β)+4的值域.

问题描述:

已知tanα,tanβ是一元二次方程2mx2+(4m-2)x+2m-3=0的两个不等实根,求函数f(m)=5m2+3mtan(α+β)+4的值域.

由已知,有tanα+tanβ=

1−2m
m
tanα•tanβ=
2m−3
2m

tan(α+β)=
2−4m
3

又由△>0,知m∈(−
1
2
,0)∪(0,+∞)

f(m)=5m2+3m•
2−4m
3
+4=(m+1)2+3

∵当m∈(−
1
2
,0)∪(0,+∞)
时f(m)在两个区间上都为单调递增,
故所求值域为(
13
4
,4)∪(4,+∞)