已知0≤φ≤π/2,求证:cos(sinφ)>sin(cosφ)

问题描述:

已知0≤φ≤π/2,求证:cos(sinφ)>sin(cosφ)

∵0≤φ≤π/2
∴0≤sinφ≤1,0≤cosφ≤1
且sinφ+cosφ
=√2(√2/2sinφ+√2/2cosφ)
=√2sin(φ+π/4)≤√2
又√2∴sinφ+cosφ∴0≤sinφ∵函数y=cosx在[0,π/2]上为减函数
∴cos(sinφ)>cos[π/2-cosφ]=sin(cosφ)
即cos(sinφ)>sin(cosφ)