A是N阶方阵,A^3-A^2+3A=0,证明E-A可逆,并求出（E-A）^-1
问题描述：
A是N阶方阵,A^3-A^2+3A=0,证明E-A可逆,并求出（E-A）^-1
答
A^3-A^2+3A=0
A(A²-A+3)=0 A²-A+3=0 A(A-1)=-3 (A-E)=-3A^-1
(E-A)=3A^-1
且(E-A)(E-A)^-1=3A^-1(E-A)^-1
1=3A^-1(E-A)^-1 (E-A)^-1=A/3
答
因为A^3-A^2+3A=0
所以
(E-A)(-A²-3E)+3E=O
(E-A)(-A²-3E)=-3E
(E-A)[(-A²-3E)/(-3)]=E
所以
由定义得
E-A可逆,
并且（E-A）^-1=(-A²-3E)/(-3)