三重积分计算的问题
三重积分计算的问题
请问计算三重积分时,若不画图怎么根据已知的代数式子求出各个变量的范围,如这道题I=∫∫∫{Ω}f(x,y,z)dv,积分区域为由曲面z=x^2+y^2,y=x^2,y=1,z=0所围成的空间闭区域?
还有如何将如 ∫{0,1}dx∫{0,1}dy∫{0,x^2+y^2}f(x,y,z)dv按 y,z,x 的次序写出三个积分表达式.
其实，我的意思就是怎么画好由若干个面构成的空间区域，尤其是其交线部分，否则我看不出相应的范围，还有不知道该区域在比如xoy面上的投影应该是什么样子，用那个方程表示。介绍下经验吧~
就是niujiniuzu 回答的方法就是我想要知道的，但是请问1.所谓的上下左右前后，是坐标系怎么放置时的方位2.我很想知道怎样确定上下左右前后各个表面是由谁构成，由于我画不出来像这样较复杂的空间大概图形，所以也不知具体是怎样的构成？
为答谢，我会再提高些悬赏的~
我可以知道各个单独的方程在空间中表示的立体图形，但是他们组合到一起，表示一个空间区域时，就比如说我问的第一个题，是怎样由此可知z=x^2+y^2构成的是封闭区域的上表面
第二个式子构成左表面，第三个式子构成的的是右表面 第四个式子构成底面？
最后一个问题了，就是第二题，您回答的是∫{0，1}dx∫{0,x^2}dz∫{根号（z-x^2)，1}f(x,y,z)dy，我不理解为何中间是∫{0,x^2}dz，而不是∫{0,1}dz 解决后我就处理问题
咋都得稍微画下图,不用画立体的,画个平面的就行.比如让你先求y的你就画在xoz面上的投影.明白各面的位置关系主要.如z=x^2+y^2,y=x^2,y=1,z=0
第一个式子表示：
先看横截面,在z=a时,是个半径为根号a的圆,在xoy面上是一个个圆,
侧面看在xoz或yoz面投影,可令y=0或x=0可知是抛物面
由此可知本曲面为一个旋转抛物面,构成的是封闭区域的上表面
第二个式子：很明显是个柱面,横截面是抛物线.构成左表面,
第三个式子构成的的是右表面
第四个式子构成底面.
这样就将封闭区域弄明白了.主要是上下左右前后各个表面弄明白是由谁构成.会投影,交线不用求那么精确.如此抛物柱面与旋转抛物面的交线就很复杂但透影到xoy面上只不过是一条抛物线(包括右侧部分）.转为3次积分如下：
∫{-1,1}dx∫{x^2,1}dy∫{0,x^2+y^2}f(x,y,z)dz
∫{0,1}dx∫{0,1}dy∫{0,x^2+y^2}f(x,y,z)dz
可知上表面是z=x^2+y^2,下表面是z=0
在xoy面投影为正方形
因此此封闭区域的上表面和左表面为z=x^2+y^2其余都是平面
现在做交换积分次序,先积y,那么就做垂直xoz的“穿入穿出”直线,穿入面为y=根号（z-x^2),穿出面为y=1,所以从根号（z-x^2)积到1
然后画xoz面上投影,同样做“穿入穿出”直线确定积分区域,结果为
∫{0,1}dx∫{0,x^2}dz∫{根号（z-x^2),1}f(x,y,z)dy
那我再补充点,现在一般非数学专业的三重积分,积分区域不会太复杂,多为柱体.那么先需要确定的就是侧面和顶面底面（大多母线与z轴平行,也就是要求你先对z积分,从下表面积到上表面）.
柱侧面方程比较好认,缺少某字母的都是柱面方程.如题中的y=x^2就少了z,就是于z轴平行的抛物柱面.先确定比较简单的曲面,再来看复杂的面,看他是构成了哪个面,一般缺哪个面就是补哪面.
如果还有什么不清楚,举些例子我再给你讲
上面说的也不太准,第一式构成了上表面和部分左表面,第二式是,前后面和部分坐面.
你可以这么看,先不看最复杂的第一式,其他几个组合可以很清楚知道围成了个不带盖的桶（在平面直角坐标系xoy上画：左前后为y=x^2,右为y=1,下为z=0）然后再加入第一式封顶,由于一二两式交线复杂,不用理会,因为你先对z积分,从0到x^2+y^2,然后看xoy面投影即可,只与柱侧面有关,与上下底无关.
你先对y积分,你画出在xoz投影,z=x^2+y^2的投影令y=0,投影为z=x^2,你作穿入穿出线,不是从z=0穿入从z=x^2穿出的吗?所以是从0到x^2.然后对x积分在x轴投影,从0,1