设在部分球面x²+y²+z²=5R²,x>0,y>0,z>0上函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz有极大值
问题描述：
设在部分球面x²+y²+z²=5R²,x>0,y>0,z>0上函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz有极大值
求该极大值,并用上述结果证明对任意a,b,c,满足abc³≤27[(a+b+c)/5]^5
答
5R^2=x^2+y^2+1/3*z^2+1/3*z^2+1/3*z^2>=5/27*(xyz^3)^(2/5),即xyz^3...求详细解我用拉格朗日乘数法做的证明出不来不等式解其实也可以的，用乘数法的话设L = lnx+lny+3lnz+λ(x²+y²+z²-5R²)求偏导得L'(x) = 1/x+2λx=0L'(y) = 1/y+2λy=0L'(z) = 3/z+2λz=0 得到x，y，z用λ表示带回球面方程 -1/(2λ)-1/(2λ)-3/(2λ)=5R²λ=-1/(2R²)极值点为 (R, R, √3R)f(max) = 2InR+3In(√3R)= InR^2*√(27)R^3 = In√(27)R^5 = 5/2In(27R^2)和不等式作的答案一样