已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）如果DM=15，CE=10，cos∠AEM＝5/13，求⊙O半径的长．
问题描述：
已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果DM=15，CE=10，cos∠AEM＝
，求⊙O半径的长． 5 13
答
（1）证明：如图，连结OC，
∵OA=OC，DC=DE，
∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，
又∵DM⊥AB，
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）如图所示，过D作DG⊥AC，连接CB，
∵DC=DE，CE=10，
∴EG=
CE=5，1 2
∵cos∠DEG=cos∠AEM=
=EG DE
，5 13
∴DE=13，
∴DG=
=12，
DE2−EG2
∵DM=5，
∴EM=DM-DE=2，
∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，
∴△AEM∽△DEG，
∴
=AM DG
=EM EG
，即AE DE
=AM 12
=2 5
，AE 13
∴AM=
，AE=24 5
，26 5
∴AC=AE+EC=
，76 5
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cosA=
=AM AE
，AC AB
∴AB=
，247 15
则圆O的半径为
AB=1 2
．247 30