若X^5+2*X^3+1=a0+a1*(X-1)+a2*(X-1)^2+...+a5(X-1)^5对任意实数X都成立,则a3=?
问题描述：
若X^5+2*X^3+1=a0+a1*(X-1)+a2*(X-1)^2+...+a5(X-1)^5对任意实数X都成立,则a3=?
答
解析：
由题意令x=t+1,那么：
(t+1)^5 +2*(t+1)³ +1=a0+a1*t+a2*t² +a3*t³ +a4*t^4 +a5*t^5
则易知a3就是(t+1)^5 +2*(t+1)³ +1中含t³的系数
而二项展开式(t+1)^5中含t³的项为C(5,2)*t³=10t³,
(t+1)³中含t³的项为t³,即2*(t+1)³中含t³的项为2t³
所以可知(t+1)^5 +2*(t+1)³ +1中含t³的项为10t³+2t³=12t³
得(t+1)^5 +2*(t+1)³ +1中含t³的系数为12,即a3=12