过双曲线的中心作直线交双曲线于A,B两点,P是双曲线上任意两点,求证:直线PA,PB的斜率乘积是定值

问题描述:

过双曲线的中心作直线交双曲线于A,B两点,P是双曲线上任意两点,求证:直线PA,PB的斜率乘积是定值

证:设双曲线方程:x^2/a^2-y^2/b^2=1,根据对称性可设A(x1,y1) ,B(-x1,-y1) ,再设P(x2,y2),则:
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 ,x2^2/a^2-y2^2/b^2=1,相减得:(y1^2-y2^2)/(x1^2-x2^2)=b^2/a^2……(1)
故PA,PB的斜率乘积={(y1-y2)/(x1-x2)] [(y1+y2)/(x1+x2)]=(y1^2-y2^2)/(x1^2-x2^2)=b^2/a^2是定值.(本题还需要条件:斜率存在)