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已知函数f(x)＝−13x3+12ax2−3x，g（x）=xlnx（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数g（x）在区间[t，t+1]（t>0）上的最小值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[1e，e]（x1≠x2），使方程f′（x）=2g（x）成立，求实数a的取值范围（其中e=2.71828…是自然对数的底数）

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:32:43
问题描述：

已知函数f(x)＝−

1
3
x3+
1
2
ax2−3x，g（x）=xlnx
（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）在区间[t，t+1]（t>0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在x1，x2∈[
1
e
，e]（x1≠x2），使方程f′（x）=2g（x）成立，求实数a的取值范围（其中e=2.71828…是自然对数的底数）

答

（Ⅰ）f'（x）=-x2+ax-3…（1分）
当a=4时，f'（x）=-x2+4x-3，令f'（x）>0得1<x<3…（2分）
∴当a=4时，f（x）的单调增区间为（1，3），单调减区间为（-∞，1），（3，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）g'（x）=lnx+1，令g'（x）>0，得x>

1
e
…（4分）
①当t≥
1
e
时，在区间[t，t+1]上g'（x）>0，g（x）为增函数，
∴g（x）min=g（t）=tlnt…（5分）
②当0<t<
1
e
时，在区间[t，
1
e
)上g'（x）<0，g（x）为减函数，…（6分）
在区间(
1
e
，t+1]上g'（x）>0，g（x）为增函数，…（7分）
∴g(x)min＝g(
1
e
)＝−
1
e
…（8分）
（III） 由f'（x）=2g（x）可得-x2+ax-3=2xlnx
∴a＝x+2lnx+
3
x
，…（9分）
令h(x)＝x+2lnx+
3
x
，则h′(x)＝1+
2
x
−
3
x2
＝
(x+3)(x−1)
x2
…（10分）
x (
1
e
，1)		 1 （1，e）
h'（x） - 0 +
h（x） 单调递减 极小值 单调递增
…（12分）
h(
1
e
)＝
1
e
+3e−2，h（1）=4，h(e)＝e+2+
3
e
h(e)−h(
1
e
)＝4−2e+
2
e
<0…（13分）
∴实数a的取值范围为(4，e+2+
3
e
]…（14分）
答案解析：（Ⅰ）当a=4时，求导函数，利用导数的正负，可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分类讨论，确定函数g（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的单调性，即可求出函数的最小值；
（Ⅲ）由f'（x）=2g（x）可得-x2+ax-3=2xlnx，分离参数，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．
考试点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

知识点：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数法的运用，正确求导是关键．

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