如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）对任意的实数x，都有f（1+x）=4f（x/2）成立． （1）求b/a，c/a的值； （2）解关于x的不等式f（x）＜4a； （3）若f（0）=1且关于α不等式f（sinα）≤sinα+m恒成立，
问题描述：
如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）对任意的实数x，都有f（1+x）=4f（
）成立．x 2
（1）求
，b a
的值；c a
（2）解关于x的不等式f（x）＜4a；
（3）若f（0）=1且关于α不等式f（sinα）≤sinα+m恒成立，求实数m取值范围．
答
（1）∵f（1+x）=4f（
），x 2
∴a（x+1）2+b（x+1）+c=4[a（
x）2+b（1 2
x）+c，1 2
整理得，x2+（2a+b）x+a2+b+c=ax2+2bx+4c，
∴2a+b=2b，a=1，a2+b+c=4c，
解得a=1，b=2，c=1，
∴
=2，b a
=1；c a
（2）∵f（x）=ax2+bx+c，f（x）＜4a；
∴ax2+bx+c＜4a；
由（1）得，a=1，b=2，c=1，
∴x2+2x-3＜0，
解得-3＜x＜1，
∴a＞0时，f（x）的解集为（-3，1）
（3）由（1）得，f（x）=x2+2x+1（a＞0），f（0）=1，
∵f（sinα）≤sinα+m恒成立，
∴sin2α+2sinα+1）≤sinα+m，
∴m≥sin2α+sinα+1=（sinα+
）2+1 2
，3 4
∵sinα∈[-1，1]，
∴当sinα=1，sin2α+sinα+1有最大值，最大值为3，
∴当m≥3时不等式f（sinα）≤sinα+m恒成立，
故实数m取值范围为[3，+∞）．