已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为1/3． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程．
问题描述：
已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为
．1 3
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程．
答
（1）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c．
由已知，2a=12，所以a=6．（2分）
又
＝c a
，即a=3c，1 3
所以3c=6，即c=2．（4分）
于是b2=a2-c2=36-4=32．
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程是
+x2 36
＝1．（6分）y2 32
（2）法一：因为a=6，所以直线l的方程为x=-6，
又c=2，所以右焦点为F2（2，0）
过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF2|=|MH|-4．
设点M（x，y），则
＝(x+6)−4＝x+2．（8分）
(x−2)2+y2
两边平方，得（x-2）2+y2=（x+2）2，即y2=8x．（10分）
故点M的轨迹方程是y2=8x．（12分）
法二：因为a=6，c=2，所以a-c=4，从而椭圆左焦点F1到直线l的距离为4．（8分）
由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x=-2的距离相等，
所以点M的轨迹是以右焦点为F2（2，0）为焦点，直线x=-2为准线的抛物线．（10分）
显然抛物线的顶点在坐标原点，且p=|F1F2|=4，
故点M的轨迹方程是y2=8x．（12分）