类比平面直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,并证明.
问题描述:
类比平面直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,并证明.
答
线的关系类比到面的关系,猜测:S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2.
理由如下:
直角空间四面体ABCD中,如图作AE⊥CD连BE,则BE⊥CD.
S△BCD2 =
CD2•BE2 =1 4
CD2(AB2+AE2)1 4
=
(AC2+AD2)(AB2+AE2)1 4
=
(AC2AB2 +AD2AB2 +AC2AE2+AD2AE2 )1 4
=
(AC2AB2 +AD2AB2+CD2AE2 )1 4
=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2