已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为根号2a,求在它的内切球的表面积
问题描述：
已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为根号2a,求在它的内切球的表面积
答
可以求得四棱锥的高为√6a/2,斜高为√7a/2,一个侧面的面积为√7a²/4,底面积为a²
设内切球半径为r,则
1/3a²*√6a/2=1/3*r*√7a²/4*4+1/3*r*a² √6a/2=(√7+1)rr=(√6a)/(2√7+2)
球的表面积=4πr^2=4π*(6a²)/(2√7+2)²=(4-√7)πa²/3内切球与各面都相切，那么球心与切点的这条半径垂直于面，它可以看做以球心为顶点，被垂直的面为底面的一个棱锥，共有5个面，所以可以得到5个棱锥（4个三棱锥，1个四棱锥），体积之和就是原来四棱锥的体积