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已知在等式ax+b/cx+d＝s中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答：（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数；（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 12:12:02

问题描述：

已知在等式

ax+b

cx+d

＝s中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答：
（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数；
（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．

答

（1）当a=c=0，d≠0时，s=

b

d

是有理数．
当c≠0时，s=

ax+b

cx+d

＝

a

c

(cx+d)+b−

ad

c

cx+d

＝

a

c

+

b−

ad

c

cx+d

，
其中：

a

c

是有理数，cx+d是无理数，b−

ad

c

是有理数．
要使s为有理数，只有b−

ad

c

=0，即bc=ad．
综上知，当a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc时，s是有理数．
（2）当c=0，d≠0，且a≠0时，s是无理数．
当c≠0时，s=

ax+b

cx+d

＝

a

c

(cx+d)+b−

ad

c

cx+d

＝

a

c

+

b−

ad

c

cx+d

其中：

a

c

是有理数，cx+d是无理数，b−

ad

c

是有理数．
所以当b−

ad

c

≠0，即bc≠ad，s为无理数．
综上知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数．