已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(2,0)且与直线y=−3/4x+3相交于B、C两点,点B在x轴上,点C在y轴上. (1)求二次函数的解析式. (2)如果P(x,y)是线段BC上的动点,O为坐标原点,试
问题描述:
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(2,0)且与直线y=−
x+3相交于B、C两点,点B在x轴上,点C在y轴上.3 4
(1)求二次函数的解析式.
(2)如果P(x,y)是线段BC上的动点,O为坐标原点,试求△POA的面积S与x之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围.
(3)是否存在这样的点P,使PO=AO?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答
(1)直线y=−
x+3与x轴的交点B的坐标为(4,0),与y轴的交点C的坐标为(0,3),3 4
把A(2,0)、B(4,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c
,
4a+2b+c=0 16a+4b+c=0 c=3
解得
,
a=
3 8 b=−
9 4 c=3
所以二次函数的解析式为y=
x2-3 8
x+3;9 4
(2)S=
×2×y1 2
=-
x+3(0≤x<4);3 4
(3)不存在.理由如下:
作OD⊥BC,如图,
∵B(4,0)、C(0,3),
∴OB=4,OC=3,
∴BC=
=5,
42+32
∴OD=
=OB•OC BC
=2.5,3×4 5
∴点P到O点的最短距离为2.5,
∴不存在点P,使PO=AO=2.