已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(2,0)且与直线y=−3/4x+3相交于B、C两点,点B在x轴上,点C在y轴上. (1)求二次函数的解析式. (2)如果P(x,y)是线段BC上的动点,O为坐标原点,试

问题描述:

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(2,0)且与直线y=−

3
4
x+3相交于B、C两点,点B在x轴上,点C在y轴上.
(1)求二次函数的解析式.
(2)如果P(x,y)是线段BC上的动点,O为坐标原点,试求△POA的面积S与x之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围.
(3)是否存在这样的点P,使PO=AO?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)直线y=−

3
4
x+3与x轴的交点B的坐标为(4,0),与y轴的交点C的坐标为(0,3),
把A(2,0)、B(4,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c
4a+2b+c=0
16a+4b+c=0
c=3

解得
a=
3
8
b=−
9
4
c=3

所以二次函数的解析式为y=
3
8
x2-
9
4
x+3;
(2)S=
1
2
×2×y
=-
3
4
x+3(0≤x<4);
(3)不存在.理由如下:
作OD⊥BC,如图,
∵B(4,0)、C(0,3),
∴OB=4,OC=3,
∴BC=
42+32
=5,
∴OD=
OB•OC
BC
=
3×4
5
=2.5,
∴点P到O点的最短距离为2.5,
∴不存在点P,使PO=AO=2.