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设z=f（x2-y2，exy），其中f具有连续二阶偏导数，求∂z∂x ， ∂z∂y ， ∂2z∂x∂y．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 12:07:37
问题描述：

设z=f（x2-y2，exy），其中f具有连续二阶偏导数，求

∂z
∂x
 ， 
∂z
∂y
 ， 
∂2z
∂x∂y
．

答

设u=x2-y2，v=exy，则z=f（u，v）
因此

∂z
∂x
＝
∂f
∂u
∂u
∂x
+
∂f
∂v
∂v
∂x
=2xf1′+yexyf2′
∂z
∂y
＝
∂f
∂u
∂u
∂y
+
∂f
∂v
∂v
∂y
＝−2yf1′+xexyf2′
∴
∂2z
∂x∂y
＝
∂
∂y
(2xf1′+yexyf2′)=2x
∂f1′
∂y
+exyf2′+xyexyf2′+yexy
∂f2′
∂y

=2xf11″•(−2y)+2xf12″•(xexy)+exyf2′+xyexyf2'+yexy[f21″•(−2y)+f22″•(xexy)]
=−4xyf11″+2(x2−y2)exyf12″+xye2xyf22″+(1+xy)exyf2′

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