已知函数y=4x2-4ax+(a2-2a+2)在区间[0,2]上的最小值是3,求实数a的值.
问题描述:
已知函数y=4x2-4ax+(a2-2a+2)在区间[0,2]上的最小值是3,求实数a的值.
答
函数=4x2-4ax+(a2-2a+2)的对称轴为x=−
=−4a 2×4
a.1 2
①当
∈[0,2],即0≤a≤4,此时函数的最小值为抛物线的顶点纵坐标,a 2
所以函数的最小值为y=-2a+2,由-2a+2=3,解得a=−
,此时不成立.1 2
②当
<0,即a<0时,此时函数在[0,2]上单调递增,a 2
所以最小值y=f(0)=a2-2a+2,
由a2-2a+2=3,即a2-2a-1=0,解得a=1-
.
2
③当
>2,即a>4时,此时函数在[0,2]上单调递减,a 2
所以最小值y=f(2)=a2-10a+18,
由a2-10a+18=3,即a2-10a+15=0,解得a=5+
.
10
综上:a=1-
或a=5+
2
.
10