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已知函数f(x)=(1/2x-1+1/2)sinx (-π2＜x＜π2且x≠0) （1）判断f（x）的奇偶性； （2）求证f（x）＞0．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 11:16:17
问题描述：

已知函数f(x)=(

1
2x-1
+
1
2
)sinx  (-
π
2
＜x＜
π
2
且x≠0)
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证f（x）＞0．

答

（1）∵f(-x)=(

1
2-x-1
+
1
2
)sin(-x)=-(
1
1
2x
-1
+
1
2
)sinx
=-(
2x
1-2x
+
1
2
)sinx=(
2x
2x-1
-
1
2
)sinx=[(1+
1
2x-1
)-
1
2
]sinx=(
1
2x-1
+
1
2
)sinx=f(x)，
∴f（x）是偶函数．
（2）当0＜x＜
π
2
时，2x＞1，  2x-1＞0  ，又sinx＞0   ，   ∴f(x)＞0．
当-
π
2
＜x＜0时，
∵f（x）为偶函数，由上式知f（x）＞0，故f（x）＞0成立．
综上可得，f（x）＞0．

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