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设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫baf（x）dx≤（b-a）f（a+b/2）．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 11:04:55
问题描述：

设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：

∫ ba
f（x）dx≤（b-a）f（
a+b
2
）．

答

证明：∀x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+

f″(ξ)
2!
(x−t)2．
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
a+b
2
，则有
f(x)≤f(
a+b
2
)+f′(
a+b
2
)(x−
a+b
2
)．
将不等式两边从a到b积分可得，
∫ ba
f(x)dx≤
∫ ba
f(
a+b
2
)dx+
∫ ba
f′(
a+b
2
)(x−
a+b
2
)dx
=(b−a)f(
a+b
2
)+f′(
a+b
2
)[
1
2
(x−
a+b
2
)2]
| ba
 
=(b−a)f(
a+b
2
)．

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