已知函数f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx. (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间.

问题描述:

已知函数f(x)=

(sinx−cosx)sin2x
sinx

(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递减区间.

(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z),
故求f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
∵f(x)=

(sinx−cosx)sin2x
sinx

=2cosx(sinx-cosx)
=sin2x-cos2x-1
=
2
sin(2x-
π
4
)-1
∴f(x)的最小正周期T=
2
=π.
(2)∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+
π
2
,2kπ+
2
](k∈Z)
∴由2kπ+
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
2
,x≠kπ(k∈Z)
得kπ+
8
≤x≤kπ+
8
,(k∈Z)
∴f(x)的单调递减区间为:[kπ+
8
,kπ+
8
](k∈Z)