利用单调有界收敛准则,证明:数列x1=2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, .)存在极限,并求出极限值

问题描述:

利用单调有界收敛准则,证明:数列x1=2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, .)存在极限,并求出极限值

由归纳法x1=√2<2,设xn<2,则x(n+1)=√2+xn<√(2+2)=2,∴0<xn<2,xn有界.∵x(n+1)=√(2+xn)>√(2xn)=√2*√xn>√xn*√xn=xn,∴xn有界,∴xn有极限a,在x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1舍)....