如图,正方形ABCD内接于圆,P为弧AD上任一点,求证PB=PD+根号2PA
问题描述：
如图,正方形ABCD内接于圆,P为弧AD上任一点,求证PB=PD+根号2PA
答
设正方形ABCD边长为a,在△PAB中,∠APB=45°,由余弦定理得：a²=PA²+PB²-2PAPBcos45°,a²=PA²+PB²-√2PAPB；在△PAD中,∠APD=135°,由余弦定理得：a²=PA²+PD²-2PAPDcos135°,a²=PA²+PD²+√2PAPD；则PA²+PB²-√2PAPB=PA²+PD²+√2PAPD,PB²-PD²=√2PAPB+√2PAPD,(PB-PD)(PB+PD)=√2PA(PB+PD),PB-PD=√2PA,PB=PD+√2PA.