设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵），ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明： （1）向量组η1，η1-η2线性无关； （2）若秩r（A）=n-1，则向量组ξ，η1，η2线
问题描述：
设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵），ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：
（1）向量组η1，η1-η2线性无关；
（2）若秩r（A）=n-1，则向量组ξ，η1，η2线性相关．
答
证明：（1）设k1η1+k2（η1-η2）=0，则
k1Aη1+k2A（η1-η2）=0
已知η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，因此
Aη1=Aη2=b
∴k1b=0
而b≠0
∴k1=0
∴k2（η1-η2）=0
又η1与η2是互不相同的，即η1-η2≠0
∴k2=0
∴向量组η1，η1-η2线性无关
（2）由秩r（A）=n-1，知Ax=0的基础解系只含有一个解向量
∴ξ是Ax=0的一个基础解系
又η1-η2是Ax=0的一个非零解
∴ξ、η1-η2线性相关，即存在数k，使得η1-η2=kξ
∴kξ+η1-η2=0
即向量组ξ，η1，η2线性相关