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已知函数f（x）=lg（x+1）．（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[-1，1]）的解析式．

分类: 作业答案 • 2021-12-16 18:44:53

问题描述：

已知函数f（x）=lg（x+1）．
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[-1，1]）的解析式．

答

（1）f（1-2x）=lg（2-2x）
由

2-2x＞0

x+1＞0

，得-1＜x＜1．
由0＜f（1-2x）-f（x）＜1得0＜lg

2-2x

x+1

＜1，
∴1＜

2-2x

x+1

＜10
∵x+1＞0，
∴x+1＜2-2x＜10x+10，
∴-

2

3

＜x＜

1

3

．
∵-1＜x＜1，
∴-

2

3

＜x＜

1

3

；
（2）当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，因此y=g（x）=g（-x）=lg[（-x）+1]=lg（1-x），
∴函数y=g（x）=

lg(1-x)，x∈[-1，0)

lg(1+x)，x∈[0，1]