已知F1、F2是两个定点,点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且PF1⊥PF2,e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有(  ) A.e12+e22=2 B.e12+e22=4 C.1e21+1e22=2 D.1e

问题描述:

已知F1、F2是两个定点,点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且PF1⊥PF2,e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有(  )
A. e12+e22=2
B. e12+e22=4
C.

1
e 21
+
1
e 22
=2
D.
1
e 21
+
1
e 22
=4

由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m  ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a  ②
又∠F1PF2=900,故|PF1|2+|PF2|2=4c2   ③
2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2
将④代入③得a2+m2=2c2,即

1
c2
a2
+
1
c2
m2
=2,即
1
e 12
+
1
e 22
=2

故选C