如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．
问题描述：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．
答
（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
又∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，
∴BD⊥OD，
∴BD是⊙O切线；
（2）
连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC=DE：BC
又∵D是AC中点，
∴AD=
AC，1 2
∴DE=
BC，1 2
∵BC=6，∴DE=3，
∵AD：AE=4：5，
在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，
那么DE=3x，
∴x=1
∴AE=5．