如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点． （Ⅰ）证明：BD⊥EC1； （Ⅱ）如果AB=2，AE=2，OE⊥EC1，求AA1的长．
问题描述：
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．
（Ⅰ）证明：BD⊥EC1；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=
，OE⊥EC1，求AA1的长．
2
答
（Ⅰ）连接AC，AE∥CC1，⇒E，A，C，C1共面，
长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，⇒BD⊥平面EACC1，⇒BD⊥EC1；
（Ⅱ）在矩形ACC1A1中，OE⊥EC1，⇒△OAE∽△EA1C1，
AB=2，AE=
得
2
＝AE AO
⇔
A1C1
EA1
＝
2
2
，AA1=3
AA1−
2
2
2
．
2