如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．（Ⅰ）证明：BD⊥EC1；（Ⅱ）如果AB=2，AE=2，OE⊥EC1，求AA1的长．
问题描述：
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．
（Ⅰ）证明：BD⊥EC1；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=
，OE⊥EC1，求AA1的长．
2
答
（Ⅰ）连接AC，AE∥CC1，⇒E，A，C，C1共面，
长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，⇒BD⊥平面EACC1，⇒BD⊥EC1；
（Ⅱ）在矩形ACC1A1中，OE⊥EC1，⇒△OAE∽△EA1C1，
AB=2，AE=
得
2
＝AE AO
⇔
A1C1
EA1
＝
2
2
，AA1=3
AA1−
2
2
2
．
2
答案解析：（Ⅰ）连接AC，AE∥CC1，推出底面A1B1C1D1是正方形．然后证明BD⊥平面EACC1，即可证明BD⊥EC1；
（Ⅱ）通过△OAE∽△EA1C1，利用已知条件以及
＝AE AO
，求出AA1 的长．
A1C1
EA1
考试点：直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．
知识点：本题考查直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力计算能力．