为何矩阵在求特征向量时候不需正交化和单位化(除非题目要求),而将一个二次型转化为标准型,为何它的过渡矩阵必须是正交阵?

我之前回答过一个类似的问题,
对于你的问题特别说明两点：
1.既然对一般矩阵,属于不同特征值的特征向量之间未必正交,那么正交化和单位化也就没有什么意义,若勉强正交化,结果就不再是特征向量了；
2.对于二次型矩阵的化简,一般只要求合同对角化就够了,就是说,给定二次型矩阵 A ,只要找一个 可逆矩阵 P 使得 (P转) A P = D 是对角矩阵就行了,这里的 P 不见得必须是正交阵.但是既然实对称矩阵 A 可以正交相似对角化,我们当然也可以要求 P 为正交矩阵,选 P 为正交矩阵的一个优点是,它不会改变欧几里得空间中两点间的距离,从而在变换坐标时可以保持空间图形的形状不发生变化,而选择一般可逆矩阵 P就不一定能做到这一点了.