如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E是PC的中点,AD=CD=1,DB=22 (Ⅰ)求证:PA∥平面BDE;(Ⅱ)求证:AC⊥平面PBD;(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值.
问题描述:
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E是PC的中点,AD=CD=1,DB=2
2
(Ⅰ)求证:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面PBD;
(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值.
答
(I)证明:设AC∩BD=H,连结EH.
在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC,
所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,
故EH∥PA.又EH⊂平面BDE,PA不包含于平面BDE,
所以PA∥平面BDE.
(II)证明:因为PD⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC.
由(I)得,DB⊥AC.
又PD∩DB=D,故AC⊥平面PBD.
(Ⅲ) 由AC⊥平面PBD知,
BH为BC在平面PBD内的射影,
所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角.
由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2
,
2
得DH=CH=
,BH=
2
2
,BC=3
2
2
,
5
在Rt△BHC中,sin∠CBH=
=CH BC
=
3
2
2
5
,3
10
10
所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值为
.3
10
10