已知幂函数f(x)=x−1/2p2+p+3/2(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求p的值,并写出相应的函数(x).

问题描述:

已知幂函数f(x)=x

1
2
p2+p+
3
2
(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求p的值,并写出相应的函数(x).

∵幂函数f(x)=x

1
2
p2+p+
3
2
在(0,+∞)上是增函数,
所以-
1
2
p2+p+
3
2
>0,
解得-1<p<3.
又由p∈Z,
所以p=0、1、2.
当p=0时,f(x)=x
3
2
,不是偶函数,不符合题意;
当p=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;
当p=2时,f(x)=x
3
2
,不是偶函数,不符合题意.
故p=1,对应的函数为f(x)=x2