已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求f（4）与f（8）的值；（2）解不等式f（x）-f（x-2）＞3．
问题描述：
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（4）与f（8）的值；
（2）解不等式f（x）-f（x-2）＞3．
答
（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2（2分）
∴f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=3（4分）
（2）根据题意，不等式f（x）-f（x-2）＞3可变为
f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f[8（x-2）]（6分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
，（10分）
x＞0 x−2＞0 x＞8(x−2)
解得2＜x＜
，16 7
∴原不等式的解集是(2，
)（12分）16 7
答案解析：（1）直接把4分成2×2，再代入f（xy）=f（x）+f（y），结合f（2）=1即可求出f（4）的值，同理可得f（8）的值；
（2）先把不等式f（x）-f（x-2）＞3转化为f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f[8（x-2）]；再结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数即可求出不等式的解集．（注意其定义域的限制）
考试点：抽象函数及其应用．
知识点：本题主要考查抽象函数的应用．解决第二问有两个地方是关键：①把原不等式转化为f（x）＞f（x-2）+3；
②把3转化为f（8）．