设函数f(x)=1/3x³+ax²+5x+6在区间[1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是（ ）
问题描述：
设函数f(x)=1/3x³+ax²+5x+6在区间[1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞,-3] B．[-√5 ,√5] C．[-√5,+∞) D．（-∞,-3]∪[-√5,+∞)
网上的答案解析是：求出函数f（x）的导函数f′（x）,得f′（x）=x²+2ax+5,
根据题意可知,导函数在区间[1,3]的值大于0,
若△＜0,即-求出函数f（x）的导函数f′（x）,得f′（x）=x²+2ax+5,
根据题意可知,导函数在区间[1,3]的值大于0,
若△＜0,即-√5＜a＜√5时,恒成立．
若△≥0时,a≤-√5或a≥√5,
当a≤-√5时,最小值为f′（a）=3a^2+5恒大于0．
当a≥√5时,最小值f′（1）=6+2a≥0,得a≥√5 ．
故选C．
我到“若△＜0,即-√5＜a＜√5时,恒成立．”还看得懂,但后面的就看不懂了,为什么若△≥0时得出a≤-√5或a≥√5,不能推出a可取全体实数?后面分类讨论为什么当a≤-√5 时,最小值取x=a?当a≥√5时,又取x=1?
答
f′（x）=x²+2ax+5=(x+a)^2+5-a^2
根据题意可知,导函数在区间[1,3]的值大于0,
也就是f'(x)min≥0,
下面求f'(x)min:
当-a∈[1,3]即a∈[-3,-1]时,
f'(x)min=f'(-a)=5-a^2≥0
解得-√5≤a≤√5
∴-√5≤a≤-1
当-a-1时,f'(x)min=f'(1)=6+2a≥0
解得a≥-3
∴a>-1符合题意
当-a>3即a