已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)讨论F(x)=af(x)-b/xf(x)的奇偶性.

问题描述:

已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论F(x)=a

f(x)
-
b
xf(x)
的奇偶性.

(1)f(x)=xm2-2m-3=xm(m-2)-3,由题意知m(m-2)为奇数又m∈z
且f(x)在(0,+∞)上递减,
∴m=1,f(x)=x-4
(2)F(x)=a

x-4
-
b
x•x-4
=a•x-2-b•x3(x≠0)
∵y=x-2是偶函数,y=x3是奇函数
①a≠0且b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;
②a=0且b≠0时,F(x)为奇函数;
③a≠0且b=0时,F(x)为偶函数;
④a=b=0时,F(x)为奇且偶函数