设A,B为n阶可逆矩阵,且E+BA^-1可逆,证明E+A^-1B可逆,并求出其逆矩阵表示式.
问题描述：
设A,B为n阶可逆矩阵,且E+BA^-1可逆,证明E+A^-1B可逆,并求出其逆矩阵表示式.
答
A(E+BA^-1)^-1A^-1
答
因为:
A^-1[(E+BA^-1)AB^-1]B=
=A^-1[AB^-1 +E]B=E+A^-1B
由于可逆阵之积仍为可逆阵,故知:
(E+A^-1B)可逆,(AB^-1 +E)可逆
(按照积取逆的定理:(AB)^-1=(B^-1)(A^-1))
可求得E+A^-1B的逆阵为:
(B^-1)[(AB^-1+E)^-1]A