可交换矩阵的交换矩阵所组成的线性空间的维数和基怎么求?已知可交换矩阵.

首先,所有的对角阵之间是可交换的.齐次,任意一个矩阵A,若A可与所有的对角阵交换,可以证明A必是对角阵.而所有的对角阵的维数是n,基是第i个对角元是1,其余元素为0的对角阵,i＝1,2,...,n.A可不可以不是对角矩阵？怎么证明A必是对角阵。D=diag(1 2 3 ,,, n)，则A与D可交换，你计算一下AD=DA，两边比较可知A是对角阵。不对吧,我的意思是A和D都不是对角阵,但A是可交换矩阵你能把题目明确清楚的写出来吗？我的回答只是常规想法，按现在你的问题是没办法证明必须是对角阵。实际上，这样的空间有无穷多个，维数也各不相同，比如任取一个非数量阵的矩阵A，考虑由A和单位阵E张成的空间V，V中任意矩阵都是A和E的线性组合，因此任意两个之间是可交换的。这样的A有太多了，对应的V也太多了。所以我觉得是你的题目描述的有问题。题目是这样的：设实数域上的矩阵A={00 1 10 04 -21}1，证明所有与A可交换的矩阵所构成的集合C（A）是M3（R）上的一个线性子空间2，求C（A）的一个基和维数。1、若B C可与A交换，则A(B+C)=(B+C)A，(kB)A=A(kB)，因此构成一个子空间。2、第一种做法：设B＝（bij）可与A交换，即AB＝BA，两边比较可得关于bij的九个式子，像求解线性方程组的形式解出基础解系可得B的形式，由此得到C(A)的维数和基。比较麻烦。第二种做法：A的特征多项式为a^3-a^2-4a+2，容易验证三个特征值分别在(-2 -1) (0 1) (1 3)之内，因此A可对角化，存在可逆阵Q，使得Q^(-1)AQ=diag(a1 a2 a3)。令B＝QTQ^(-1)，利用AB＝BA可知T必为对角阵，于是与A可交换的矩阵一定能写为QDQ^(-1)的形式，其中D是对角阵，因此C(A)的维数是3。基可取为三个D，Di是第i个对角元是1，其余都是0的对角阵。这样取还要计算Q，不太方便。如果你注意到E A A^2是三个线性无关（用定义容易验证）的可与A交换的矩阵，你就知道C(A)的一组基就是E A A^2这三个矩阵。