设f(x)=2x^3+ax^2+bx+1的导数为f'(x).若函数y=f'(x)的图像关于直线x=-1/2对称,且f'(1)=0.(1)求实数a,b的值 .(2)求函数f(x)的极值.
问题描述：
设f(x)=2x^3+ax^2+bx+1的导数为f'(x).若函数y=f'(x)的图像关于直线x=-1/2对称,且f'(1)=0.(1)求实数a,b的值 .(2)求函数f(x)的极值.
答
f(x)=2x^3+ax^2+bx+1
f'(x)=2*3x^2+2ax+b=6x^2+2ax+b=6(x^2+ax/3+(ax/6)^2-(ax/6)^2)+b
若函数y=f'(x)的图像关于直线x=-1/2对称
a/6=1/2
a=3
且f'(1)=0.
f'(1)=6*1^2+2a*1+b=6+2a+b=0
b=-12
(2)求函数f(x)的极值.
f'(x)=6x^2+2ax+b
=6x^2+6x-12
=6(x^2+x-2)
=6(x-1)(x+2)=0
x=1 和 -2
当 x=1 时f(1)=2+3-12+1=-6
当 x=-2 时f(-2)=2*(-2)^3+3*(-2)^2-12*(-2)+1=21