已知:在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF.
问题描述:
已知:在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF.
答
证明:过A、D分别做BC的垂线,垂足分别为G、H.
设AG=1,那么CG=1,DH=
,BH=1 2
,3 2
tan∠DBH=
,1 3
又∠GAF=∠DBH,
∴GF=
AG=1 3
,1 3
FH=GH-GF=
-1 2
=1 3
,1 6
tan∠FDH=
=FH DH
1 3
∴∠DBH=∠FDH
∵∠ADB=∠DBH+∠C,
∠CDF=∠FDH+∠CDH,
∴∠ADB=∠CDF.