数列an中,a1=1 an+1=2的n次方*c*an 且a1,1/a2,2/a3成AP.求通向公式an
问题描述：
数列an中,a1=1 an+1=2的n次方*c*an 且a1,1/a2,2/a3成AP.求通向公式an
答
∵数列{a[n]}中,且a[1],1/a[2],2/a[3]成AP
∴2/a[2]=a[1]+2/a[3] 【1】
∵a[1]=1,a[n+1]=(2^n)ca[n]
∴a[2]=2c,a[3]=8c^2
将a[1]、a[2]的值代入【1】式,得：
2/(2c)=1+2/a[3]
即：a[3]=2c/(1-c)
∴比较a[3]的两个表达式,有：2c/(1-c)=8c^2
2c=8c^2-8c^3
即：2c(2c-1)^2=0
∴c=0 或者 c=1/2
当c=0时,a[n]=1 (n=1)
a[n]=0 (n>1)
当c=1/2时,a[n+1]=a[n]2^(n-1),a[2]=1,a[3]=2
∴a[n+1]/a[n]=2^(n-1)
a[n]/a[n-1]=2^(n-2)
.
a[3]/a[2]=2^1
a[2]/a[1]=2^0
将上述各式累乘(第一式不参与),得：
a[n]/a[1]=2^[0+1+2+...+(n-2)]
∵a[1]=1
∴a[n]=2^[(n-1)(n-2)/2]